Исследование эволюционных уравнений

 


         Уравнение (14) имеет вид:

                       Исследование эволюционных уравнений,                                      (16)

где непрерывно дифференцируемая функция

    Исследование эволюционных уравнений     (17)

задает одномерное отображение Исследование эволюционных уравнений. Последовательность итераций Исследование эволюционных уравнений будем называть траекторией отображения Исследование эволюционных уравнений. Ставится задача об исследовании траекторий.

         Пусть отображение Исследование эволюционных уравнений имеет неподвижную точку Исследование эволюционных уравнений, т.е. Исследование эволюционных уравнений. Простейшей траекторией является стационарная последовательность Исследование эволюционных уравнений. Она же называется состоянием равновесия уравнения (16). Говорят, что состояние равновесия устойчиво (асимптотически), если существует такая его окрестность, что все траектории начинающиеся в ней сходятся к состоянию равновесия. Для устойчивости состояния равновесия Исследование эволюционных уравнений достаточно Исследование эволюционных уравнений при Исследование эволюционных уравнений. Наоборот, если Исследование эволюционных уравнений при Исследование эволюционных уравнений, то состояние равновесия неустойчиво. Это означает, что в сколь угодно малой окрестности состояния равновесия берет начало траектория, которая с ростом номера n покинет некоторую фиксированную окрестность состояния равновесия. Траектория может сколько угодно раз возвращаться в эту окрестность, но каждый раз после возвращения снова покидает ее.

         Одномерные отображения (но не (17)) могут иметь периодические траектории: Исследование эволюционных уравнений, где Исследование эволюционных уравнений- минимальный период. Периодические траектории (циклы) есть неподвижные точки отображения, задаваемого сложной функцией Исследование эволюционных уравнений. В частности, циклы периода два - неподвижные точки отображения Исследование эволюционных уравнений. Циклы устойчивы или неустойчивы в зависимости от того, устойчивы или неустойчивы соответствующие неподвижные точки. Известны отображения, которые имеют неустойчивые циклы любого периода. Поведение траекторий таких отображений чрезвычайно сложно. Приближенно говоря, трактории пробегают вблизи любого цикла. Тем самым, задача о поведении траекторий одномерного отображения весьма не проста.

         Однако, в рассматриваемом конкретном случае отображения, заданного формулой (17), все траектории стремятся к состояниям равновесия. Доказательство этого утверждения будет нашей ближайшей задачей.

         Покажем сначала, что функция Исследование эволюционных уравнений, заданная формулой (17), монотонно растет на интервале Исследование эволюционных уравнений. Запишем функцию Исследование эволюционных уравнений в виде: Исследование эволюционных уравнений, где

    Исследование эволюционных уравнений,   Исследование эволюционных уравнений.

Здесь Исследование эволюционных уравнений для Исследование эволюционных уравнений. Легко получаем

    Исследование эволюционных уравнений.

В свою очередь, для Исследование эволюционных уравнений 

     Исследование эволюционных уравнений.

Таким образом,

    Исследование эволюционных уравнений 

для Исследование эволюционных уравнений и функция монотонно растет.

         Из монотонности функции вытекает важное следствие. Пусть Исследование эволюционных уравнений и Исследование эволюционных уравнений Исследование эволюционных уравнений - два состояния равновесия и на интервале Исследование эволюционных уравнений других состояний равновесия нет. Предположим, что начальная точка траектории Исследование эволюционных уравнений. тогда при Исследование эволюционных уравнений точки траектории стремятся к одному из состояний равновесия: или к Исследование эволюционных уравнений, или к Исследование эволюционных уравнений.

         Для доказательства заметим сначала, что отображение Исследование эволюционных уравнений переводит отрезок Исследование эволюционных уравнений в себя. Действительно. в силу монотонности для любого Исследование эволюционных уравнений имеем Исследование эволюционных уравнений и Исследование эволюционных уравнений, т.е. Исследование эволюционных уравнений. Далее, так как на интервале Исследование эволюционных уравнений нет состояний равновесия (точек, где Исследование эволюционных уравнений), то либо Исследование эволюционных уравнений либо Исследование эволюционных уравнений для Исследование эволюционных уравнений. Пусть реализуется первый случай. Тогда Исследование эволюционных уравнений. Последовательность Исследование эволюционных уравнений монотонно растет и ограничена сверху числом Исследование эволюционных уравнений. Она сходится. Переходя в равенстве Исследование эволюционных уравнений к пределу при Исследование эволюционных уравнений получим Исследование эволюционных уравнений. Поскольку на интервале Исследование эволюционных уравнений отсутствуют состояния равновесия то Исследование эволюционных уравнений, т.е. Исследование эволюционных уравнений. Аналогично проверяется, что в случае Исследование эволюционных уравнений для Исследование эволюционных уравнений точки траектории Исследование эволюционных уравнений. Тем самым, сформулированное следствие доказано.

         Доказательство того, что все траектории отображения (17) стремятся к состояниям равновесия теперь легко завершается. Заметим, что крайние точкиИсследование эволюционных уравнений и Исследование эволюционных уравнений отрезка Исследование эволюционных уравнений являются неподвижными для отображения (17). Если отображение не имеет других неподвижных точек, то все его траектории стремятся к одной и той же неподвижной точке (либо Исследование эволюционных уравнений, либо Исследование эволюционных уравнений. Если существуют другие неподвижные точки, то они разбивают отрезок Исследование эволюционных уравнений на части. Внутри каждой из частей все траектории стремятся к одной из крайних точек разбиения.

         Состояния равновесия определяются из уравнения:

    Исследование эволюционных уравнений.
Последовательно получаем:

    Исследование эволюционных уравнений

    Исследование эволюционных уравнений

    Исследование эволюционных уравнений

         Отсюда получаем, что кроме найденных ранее состояний равновесия Исследование эволюционных уравнений и Исследование эволюционных уравнений может присутствовать еще одно:

    Исследование эволюционных уравнений.                                                (18)

Соответствующее значение частоты Исследование эволюционных уравнений суть

    Исследование эволюционных уравнений.                                                 (19)

Поскольку Исследование эволюционных уравнений и Исследование эволюционных уравнений, то состояние равновесия (18) существует, если выполнено одно из условий:

    Исследование эволюционных уравнений, Исследование эволюционных уравнений,                                                      (20)

    Исследование эволюционных уравнений, Исследование эволюционных уравнений.                                                      (21)

В состояниях равновесия Исследование эволюционных уравнений и Исследование эволюционных уравнений генофонд популяции содержит соответственно только аллели A и a. Равновесное состояние, если оно существует, соответствует случаю, когда генофонд содержит оба аллеля. Оно называется равновесным пилиморфизмом.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: