Возрастание средней приспособленности

 


         Выше средней приспособленностью в n -ом поколении была названа величина Возрастание средней приспособленности. Она интерпретировалась, как полная вероятность того, что особь n -ого поколения доживает до этапа размножения. Покажем, что средняя приспособленность -неубывающая функция от номера поколения n. Таким образом, эволюция происходит в сторону возрастания приспособленности популяции, что полностью соответствует теории Ч. Дарвина.

         Запишем Возрастание средней приспособленности как функцию от Возрастание средней приспособленности:

        Возрастание средней приспособленности 

и вычислим ее производные:

       Возрастание средней приспособленности,

       Возрастание средней приспособленности.

Таким образом, экстремальное значение Возрастание средней приспособленности достигается при

       Возрастание средней приспособленности                                           (23)

и является максимумом при Возрастание средней приспособленности и минимумом, если Возрастание средней приспособленности.

         Рассмотрим первый случай, когда Возрастание средней приспособленности. Квадратичная функция Возрастание средней приспособленности не имеет экстремума на интервале Возрастание средней приспособленности. Действительно, пусть для определенности Возрастание средней приспособленности. Тогда из (23) следует, что экстремальная точка Возрастание средней приспособленности. Для всего интервала Возрастание средней приспособленности производная Возрастание средней приспособленности имеет один и тот же знак. При Возрастание средней приспособленности имеем Возрастание средней приспособленности. Следовательно, функция Возрастание средней приспособленности на интервале Возрастание средней приспособленности монотонно растет. Напомним, что в рассматриваемом случае для траектории Возрастание средней приспособленности отображения Возрастание средней приспособленности также монотонно Возрастание средней приспособленности при Возрастание средней приспособленности. В результате Возрастание средней приспособленности. При этом Возрастание средней приспособленности.

         Второй случай Возрастание средней приспособленности подобен первому. Функция Возрастание средней приспособленности на интервале Возрастание средней приспособленности не имеет экстремума и монотонно убывает. Согласно полученным ранее результатам, для траектории отображения имеем: Возрастание средней приспособленности. В результате последовательность Возрастание средней приспособленности оказывается монотонно растущей: Возрастание средней приспособленности. При этом Возрастание средней приспособленности при Возрастание средней приспособленности.

         В третьем случае (Возрастание средней приспособленности, Возрастание средней приспособленности) экстремальная точка Возрастание средней приспособленности является точкой максимума, т.к.

    Возрастание средней приспособленности

На интервале Возрастание средней приспособленности функция Возрастание средней приспособленности монотонна растет, а на интервале Возрастание средней приспособленности монотонно убывает. Одновременно, точка Возрастание средней приспособленности, согласно (18), является устойчивым состоянием равновесия Возрастание средней приспособленности (состояние полиморфизма). Как показано выше, если начальная точка траектории Возрастание средней приспособленности, то для всех ее точек Возрастание средней приспособленности. Тем самым, последовательность Возрастание средней приспособленности монотонно растет. Если же начальная точка Возрастание средней приспособленности, то Возрастание средней приспособленности. Тем не менее, последовательность Возрастание средней приспособленности по-прежнему монотонно растет, в силу монотоного убывания функции Возрастание средней приспособленности на соответствующем интервале.

         Четвертый случай (Возрастание средней приспособленности, Возрастание средней приспособленности) аналогичен предыдущему. Состояние неустойчивого полиморфизма является точкой минимума для средней приспособленности. Траектории (последовательности Возрастание средней приспособленности) с начальными условиями Возрастание средней приспособленности монотонно убывают. Одновременно, на соответствующем промежутке также монотонно убывает функция Возрастание средней приспособленности. В результате последовательность Возрастание средней приспособленности монотонно растет. Если же Возрастание средней приспособленности, то последовательность Возрастание средней приспособленности монотонно растет, а вместе с ней и последовательность Возрастание средней приспособленности, т.к. функция Возрастание средней приспособленности для Возрастание средней приспособленности монотонно растет.

         Рисунок иллюстрирует направление поведение средней приспособленности в рассмотренных случаях.

         Возрастание средней приспособленности   Возрастание средней приспособленности

          Возрастание средней приспособленности   Возрастание средней приспособленности

         Отметим, что возрастание средней приспособленности можно доказать непосредственно, не разбирая в отдельности каждый случай. Далее, поскольку средняя приспособленность есть ограниченная величина, можно сделать вывод, что последовательность Возрастание средней приспособленности имеет предел при Возрастание средней приспособленности. Используя этот факт, еще одним способом можно показать, что все траектории отображения сходятся к состояниям равновесия. Такой прием иногда используется для анализа разностных уравнений. Функцию Возрастание средней приспособленности пытаются подобрать, используя специфику уравнения. Часто ее называют функцией Ляпунова. Естественно, что функции Ляпунова не всегда существуют. Как уже отмечалось, поведения траекторий может быть весьма сложным. В частности, может оказаться, что уравнение не имеет устойчивых состояний равновесия.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: