|
|
|
Уравнение (14) имеет вид:
, (16)
где непрерывно дифференцируемая функция
(17)
задает одномерное отображение 
. Последовательность итераций 
будем называть траекторией отображения 
. Ставится задача об исследовании траекторий.
Пусть отображение 
имеет неподвижную точку 
, т.е. 
. Простейшей траекторией является стационарная последовательность 
. Она же называется состоянием равновесия уравнения (16). Говорят, что состояние равновесия устойчиво (асимптотически), если существует такая его окрестность, что все траектории начинающиеся в ней сходятся к состоянию равновесия. Для устойчивости состояния равновесия 
достаточно 
при 
. Наоборот, если 
при 
, то состояние равновесия неустойчиво. Это означает, что в сколь угодно малой окрестности состояния равновесия берет начало траектория, которая с ростом номера n покинет некоторую фиксированную окрестность состояния равновесия. Траектория может сколько угодно раз возвращаться в эту окрестность, но каждый раз после возвращения снова покидает ее.
Одномерные отображения (но не (17)) могут иметь периодические траектории: 
, где 
— минимальный период. Периодические траектории (циклы) есть неподвижные точки отображения, задаваемого сложной функцией 
. В частности, циклы периода два — неподвижные точки отображения 
. Циклы устойчивы или неустойчивы в зависимости от того, устойчивы или неустойчивы соответствующие неподвижные точки. Известны отображения, которые имеют неустойчивые циклы любого периода. Поведение траекторий таких отображений чрезвычайно сложно. Приближенно говоря, трактории пробегают вблизи любого цикла. Тем самым, задача о поведении траекторий одномерного отображения весьма не проста.
Однако, в рассматриваемом конкретном случае отображения, заданного формулой (17), все траектории стремятся к состояниям равновесия. Доказательство этого утверждения будет нашей ближайшей задачей.
Покажем сначала, что функция 
, заданная формулой (17), монотонно растет на интервале 
. Запишем функцию 
в виде: 
, где
, 
.
Здесь 
для 
. Легко получаем
.
В свою очередь, для 
.
|
|
|
Таким образом,
для 
и функция монотонно растет.
Из монотонности функции вытекает важное следствие. Пусть 
и 
— два состояния равновесия и на интервале 
других состояний равновесия нет. Предположим, что начальная точка траектории 
. тогда при 
точки траектории стремятся к одному из состояний равновесия: или к 
, или к 
.
Для доказательства заметим сначала, что отображение 
переводит отрезок 
в себя. Действительно. в силу монотонности для любого 
имеем 
и 
, т.е. 
. Далее, так как на интервале 
нет состояний равновесия (точек, где 
), то либо 
либо 
для 
. Пусть реализуется первый случай. Тогда 
. Последовательность 
монотонно растет и ограничена сверху числом 
. Она сходится. Переходя в равенстве 
к пределу при 
получим 
. Поскольку на интервале 
отсутствуют состояния равновесия то 
, т.е. 
. Аналогично проверяется, что в случае 
для 
точки траектории 
. Тем самым, сформулированное следствие доказано.
Доказательство того, что все траектории отображения (17) стремятся к состояниям равновесия теперь легко завершается. Заметим, что крайние точки
и 
отрезка 
являются неподвижными для отображения (17). Если отображение не имеет других неподвижных точек, то все его траектории стремятся к одной и той же неподвижной точке (либо 
, либо 
. Если существуют другие неподвижные точки, то они разбивают отрезок 
на части. Внутри каждой из частей все траектории стремятся к одной из крайних точек разбиения.
Состояния равновесия определяются из уравнения:
.
Последовательно получаем:
Отсюда получаем, что кроме найденных ранее состояний равновесия 
и 
может присутствовать еще одно:
. (18)
Соответствующее значение частоты 
суть
. (19)
Поскольку 
и 
, то состояние равновесия (18) существует, если выполнено одно из условий:
, 
, (20)
, 
. (21)
В состояниях равновесия 
и 
генофонд популяции содержит соответственно только аллели A и a. Равновесное состояние, если оно существует, соответствует случаю, когда генофонд содержит оба аллеля. Оно называется равновесным пилиморфизмом.
|
|
|