|
|
|
Однослойным персептроном назовем множество нейронов Мак-Каллока — Питтса, которые имеют общие входы. Пусть 
— входные сигналы, а 
— выходной сигнал 
-ого нейрона, 
, где 
— число нейронов. Тогда
.
Здесь 
— общий вектор входных сигналов, 
— синаптический вектор 
— ого нейрона, 
— его пороговое значение. Выходные сигналы принимают либо нулевое, либо единичное значения (бинарны). Предположения о бинарности вектора 
делать не будем. Персептрон формирует вектор выходных сигналов 
. Обозначим через 
— матрицу, в строках которой находятся синаптические векторы 
. Ее назовем синаптической. Введем также вектор 
, который назовем пороговым. Тогда выходной вектор персептрона суть
,
где функция 
вычисляется покоординатно. Множество бинарных векторов (координаты равны либо нулю, либо единице) обозначим через 
. Пусть 
— некоторый набор входных векторов, а 
— множество выходных векторов. Поставим задачу об обучении персептрона. Требуется выбрать синаптическую матрицу 
и пороговый вектор 
так, чтобы для входных векторов 
персептрон формировал выходные векторы 
, т.е.
|
|
|
.
Если обучение удалось произвести, то персептрон выполняет функции ассоциативной памяти. По входному вектору 
генерирует связанный с ним выходной вектор 
. При этом если входной вектор 
слегка искажен, выходным вектором все равно будет вектор 
(функция 
непрерывна). Часто пары векторов 
называют ассоциативными парами.
Пусть 
и векторы 
линейно независимы. Тогда задача об обучении однослойного персептрона разрешимы. В силу того, что нейроны слоя не связаны между собой, достаточно решить задачу обучения для произвольного 
-ого нейрона (персептрон из одного нейрона). Его ассоциативные пары имеют вид: 
, где 
— координата с номером 
вектора 
, которая принимает либо нулевое, либо единичное значения. Таким образом, нейрон осуществляет классификацию входных векторов: одним “ приписывает” нулевое, а другим — единичное значения признака. Выше показано, что в рамках сделанных предположений о векторах 
задача классификации разрешима. Описан алгоритм выбора синаптического вектора 
и порогового значения 
, для которых 
.
Задача об обучении персептрона часто оказывается неразрешимой даже в простых случаях. Рассмотрим персептрон, состоящий из одного нейрона, который имеет два синаптических входа, т.е. входной вектор суть 
. Поставим задачу найти синаптический вектор и пороговое значение такими, чтобы для входных векторов 
и 
выходной сигнал был равен единице, а для векторов 
и 
— нулю? Данный нейрон должен реализовать логическую операцию “исключающее или”. Выпуклые оболочки векторов 
и 
очевидно пересекаются в точке 
. Следовательно, поставленная задача в принципе не разрешима.
Нерешенная простейшая задача сильно уменьшает энтузиазм. Однако, оказывается, что она разрешима на двухслойном персептроне. Рассмотрим конструкцию из трех нейронов. Первые два из них имеют общие входы и образуют первый слой. Выходные сигналы этих нейронов являются входными сигналами для третьего нейрона. Пусть 
и 
входной и выходной векторы первого слоя, а 
— выходной сигнал третьего нейрона. Положим для нейронов 
, 
, 
.Простым перебором доказывается, что описанный персептрон реализует операцию “исключающее или”.
Рассмотренный пример — решение задачи классификации на множестве бинарных векторов. Оказывается, что теоретически двухслойный персептрон решает задачу классификации бинарных векторов в общем случае. Однако, это утверждение имеет лишь теоретическое значение, поскольку доказывается оно, когда число нейронов в первом слое равно 
, где 
— размерность входного вектора.
|
|
|